Q사칙연산 순서 | 곱하기와 나누기 계산 기준

왼쪽에서 오른쪽으로 진행하는 기본 규칙

곱셈과 나눗셈은 수학적으로 동등한 위계를 가진 연산이기 때문에 우선순위가 서로 같습니다. 이 때문에 수식을 읽을 때 시선이 닿는 방향인 왼쪽에서 오른쪽으로 순서대로 처리해야 오류가 발생하지 않습니다. 예를 들어 12 나누기 3 곱하기 2라는 식이 있다면 뒤의 곱하기를 먼저 하는 것이 아니라 앞의 12 나누기 3을 먼저 수행해야 합니다. 그 결과값인 4에 다시 2를 곱하여 최종적으로 8이라는 올바른 답을 도출하게 됩니다. 만약 이를 무시하고 임의로 순서를 바꾸면 전혀 다른 값이 나오므로 반드시 방향성을 지켜야 합니다.

혼동을 방지하기 위해 정립된 수학적 약속

수학자들은 오랜 시간 동안 전 세계 누구나 같은 식을 보고 똑같은 답을 낼 수 있는 통일된 기준이 필요했습니다. 연산자의 우선순위가 주관적으로 해석되면 학문적 소통에 큰 혼란이 생기기 때문에 기호의 결합 방향을 좌측부터로 규정했습니다. 이러한 약속은 대수학의 발전 과정에서 수많은 학자들이 논의 끝에 합의한 국제 표준에 가깝습니다. 중학교와 고등학교 교육과정에서도 이 원칙을 기본 전제로 삼아 복잡한 다항식 계산을 가르칩니다. 따라서 개인이 임의로 편한 쪽부터 계산하는 것은 수학적 문법에 어긋나는 행동이 됩니다.

계산 순서에 따라 완전히 달라지는 최종 결과값

실제 수식에서 순서를 다르게 적용하면 수치가 어떻게 틀어지는지 확인하는 것은 매우 중요합니다. 24 나누기 4 곱하기 3이라는 문제를 가정할 때 정석대로 왼쪽부터 풀면 24 나누기 4는 6이 되고 여기에 3을 곱하면 18이 됩니다. 반면에 만약 오른쪽의 4 곱하기 3을 먼저 해서 12를 만든 뒤 24를 그것으로 나누면 결과는 고작 2가 되어버립니다. 이처럼 연산의 순서 하나만 바뀌어도 숫자의 크기가 완전히 뒤바뀌기 때문에 수학 시험이나 실무 계산에서 치명적인 감점이나 오차를 유발합니다. 특히 소수점이나 분수가 포함된 복잡한 식일수록 이 차이는 더욱 극명하게 드러납니다.

괄호가 포함되었을 때 적용되는 별도의 예외 규정

기본적으로는 왼쪽부터 계산하지만 식 중간에 괄호가 들어가 있다면 이야기는 완전히 달라집니다. 괄호는 다른 어떤 연산자보다 최우선으로 처리해야 하는 강력한 기호이기 때문에 위치와 상관없이 괄호 안쪽을 먼저 해결해야 합니다. 예를 들어 24 나누기 괄호 열고 4 곱하기 3 괄호닫고 라는 식이 있다면 왼쪽 규칙보다 괄호를 우선하여 4 곱하기 3을 먼저 계산한 뒤 24를 12로 나누어야 합니다. 이 경우에는 최종 결과가 2가 되어 앞서 살펴본 18가 전혀 다른 답이 도출됩니다. 괄호는 이처럼 순서를 강제로 재조정하는 특수한 도구로 활용됩니다.

현대 기계와 프로그램이 식을 해석하는 방식

우리가 일상적으로 쓰는 스마트폰 계산기나 엑셀 같은 스프레드시트 프로그램도 이 연산 규칙을 그대로 탑재하고 있습니다. 사용자가 수식을 입력하면 내부의 파서라는 분석 장치가 텍스트를 읽어들여 표준 우선순위에 따라 토큰을 분해합니다. 파이썬이나 자바 같은 프로그래밍 언어의 컴파일러 역시 연산자 우선순위 표에 따라 좌측에서 우측으로 코드를 실행합니다. 만약 프로그래머가 명확한 의도를 가지고 순서를 제어하고 싶다면 반드시 소괄호를 사용하여 기계에게 지시를 내려야 합니다. 기계는 인간의 암묵적인 짐작을 배제하고 오직 입력된 규칙대로만 결과를 산출합니다.

혼동스러운 수식을 접했을 때 판별하는 방법

인터넷 커뮤니티나 SNS에는 사람들을 헷갈리게 하려고 의도적으로 괄호를 생략한 난해한 수식들이 자주 올라옵니다. 8 나누기 2 곱하기 괄호 열고 2 더하기 2 괄호닫고 같은 형태가 대표적인 논쟁거리입니다. 이럴 때는 당황하지 말고 가장 안쪽의 괄호부터 해결한 뒤 남은 곱셈과 나눗셈을 엄격하게 왼쪽에서 오른쪽으로 풀어나가야 합니다. 만약 출제자가 의도한 바가 따로 있다면 애초에 분수 형태의 기호를 사용하거나 괄호를 명시했어야 마땅합니다. 표준 규칙에 입각해서 차분하게 식을 분해하면 어떤 복잡한 함정도 정확하게 풀 수 있습니다.

지수와 로그 등 상위 연산자와의 결합 관계

곱셈과 나눗셈은 덧셈과 뺄셈보다는 우선순위가 높지만 거듭제곱을 뜻하는 지수 연산보다는 아래에 위치합니다. 따라서 수식에 지수가 포함되어 있다면 곱하기나 나누기보다 지수 계산을 먼저 처리하는 것이 대원칙입니다. 예를 들어 2 곱하기 3의 제곱이라는 식이 있다면 2 곱하기 3을 먼저 해서 6의 제곱을 만드는 것이 아니라 3의 제곱인 9를 먼저 구한 뒤 2를 곱해 18을 만들어야 합니다. 이처럼 연산자들 사이에는 단단한 위계 질서가 존재하며 곱하기와 나눗셈은 그 중간 단계의 대등한 위치를 차지합니다.

곱하기와 나누기가 섞인 식은 항상 왼쪽에서 오른쪽으로 계산합니다. 괄호가 있다면 괄호 안쪽을 최우선으로 처리해야 합니다.